Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱BC，CC₁上的点，CF=AB=2CE=2，AD=4，AA₁=8．
（1）求直线A₁E与平面AA₁DD₁所成角的正弦值；
（2）求证：AF⊥平面A₁ED；
（3）求二面角A₁-ED-F的余弦角．

Answer 1

分析：（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出直线A₁E的方向向量与平面AA₁DD₁的法向量，代入向量夹角公式，即可求出直线A₁E与平面AA₁DD₁所成角的正弦值；
（2）分别求出AF，ED，A₁E的方向向量，根据数量积为0，两向量垂直可判断出AF与ED，A₁E均垂直，结合线面垂直的判定定理即可得到AF⊥平面A₁ED；
（3）分别求出平面A₁ED的法向量和平面EDF的法向量，代入向量夹角公式即可求出二面角A₁-ED-F的正弦值．

解答： 解：（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得
D（0，4，0），F（2，4，2），A₁（0，0，8），E（2，3，0）
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，

AB

是平面A₁ADD₁的一个法向量，
∵

AB

=（2，0，0），

A1E

=（2，3，-8）
∴cos＜

AB

，

A1E

＞=

AB • A1E

| AB |•| A1E |

=

2 77

77

故直线A₁E与平面AA₁DD₁所成角的正弦值为

2 77

77

（4分）
（2）证明：易知

AF

=（2，4，2），

EA1

=（-2，-3，8），

ED

=（-2，1，0），
于是

AF

•

EA1

=0，

AF

•

ED

=0，因此AF⊥A₁E，AF⊥ED，又A₁E∩ED=E，
所以AF⊥平面A₁ED．（8分）
（3）设平面EFD的法向量

n

=（x，y，z）
则

n • EF =0 n • ED =0

，即

1 2 y+z=0 -x+ 1 2 y=0

不妨令X=1，可得

n

=（1，2，-1）由（2）可知，

AF

为平面A₁ED的一个法向量．
于是cos ＜

n

，

AF

＞=

n • AF

| n |•| AF |

=

2

3

，
所以二面角A₁-ED-F的余弦值为

2

3

（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线间的夹角、距离，直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，其中建立适当的空间坐标系，将空间线、面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．