Question

【题目】设a∈R，函数f（x）=|x2﹣2ax|，方程f（x）=ax+a的四个实数解满足x1＜x2＜x3＜x4 ．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：f（x4）＞ +8 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a=0，则f（x）=x2，显然直线y=ax+a与f（x）不可能有4个交点，不符合题意；

若a＜0，作出f（x）=|x2﹣2ax|的函数图象，则直线y=ax+a与f（x）的图象不可能有4个交点，不符合题意；

若a＞0，作出f（x）的函数图象如图所示：

当0＜x＜2a时，f（x）=﹣x2+2ax，

设直线y=k（x+1）与y=f（x）在（0，2a）上的函数图象相切，切点为（x0，y0），

则 ，解得k=2a+2﹣2 ，

∴a＜2a+2﹣2 ，解得a＞4

（2）解：联立方程组 ，得x2﹣3ax﹣a=0，解得x= ，

∴x4= ．

∴f（x4）=ax4+a= + +a，

令g（a）= + +a，则g（a）在（4，+∞）上单调递增，

∴g（a）＞g（4）=28+8 ＞ +8 ．

∴f（x4）＞ +8

【解析】（1）根据f（x）的图象与直线y=ax+a有4个交点可知a＞0，利用导数求出f（x）的过点（﹣1，0）的切线斜率，列出不等式得出a的范围；（2）求方程组，用a表示出x4，得出f（x4）关于a的函数，利用单调性得出结论．