Question

已知关于x的不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0的解集为A，且3∉A．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求集合A．

Answer 1

分析：（1）根据关于x的不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0的解集为A，且3∉A，可得当x=3时，（x-2）[（a-2）x-（a-4）]≤0，故可求实数a的取值范围；
（2）不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0可化为（x-2）（x-

a-4

a-2

）＜0，再比较所对应方程的两根的大小，即可得到结论．

解答：解：（1）∵关于x的不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0的解集为A，且3∉A．
∴当x=3时，（x-2）[（a-2）x-（a-4）]≤0
∴3（a-2）-（a-4）≤0
∴a≤1
∴实数a的取值范围是（-∞，1]；
（2）由（1）知，a-2＜0
∴不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0可化为（x-2）（x-

a-4

a-2

）＜0
由

a-4

a-2

-2=

-a

a-2

知
当0＜a≤1时，

a-4

a-2

＞2，则集合A={x|2＜x＜

a-4

a-2

}；
当a=0时，原不等式解集A为空集；
当a＜0时，

a-4

a-2

＜2，则集合A={x|

a-4

a-2

＜x＜2}
综上所述，当0＜a≤1时，集合A={x|2＜x＜

a-4

a-2

}；
当a=0时，集合A为空集；
当a＜0时，集合A={x|

a-4

a-2

＜x＜2}．  …（14分）

点评：本题重点考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，解题时确定分类的依据是关键．