Question

如图，圆M与圆N交于A、B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F，已知BC=5，BD=10，则AB=    ；=    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知条件中AC，AD均为切线，结合弦切角定理，我们不难得到△ABC∽△DBA，又由已知BC=5，BD=10，可以得到一个关于AB的方程，解方程即可求出AB的值．根据切割线定理我们知道，CA²=CB•CF，DA²=DB•DE，根据△ABC∽△DBA，我们可得的值，代入即可得到结果．
解答：解：根据弦切角定理，
知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，
故△ABC∽△DBA，
则，
故．
根据切割线定理，
知CA²=CB•CF，DA²=DB•DE，
两式相除，
得（*）．
由△ABC∽△DBA，
得，
，
又，
由（*）得．
故答案为：，1
点评：本小题主要考查圆的切线及有关知识，如弦切角定理和切割线定理，以及分析问题与解决问题的能力、转化与化归的思想方法．在平面几何中，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们注意熟练掌握：1．射影定理的内容及其证明； 2．圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定．