如图所示.ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮.其中ATN是一半径为6米的扇形.已经被腐蚀不能使用.其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR.其中P是TN上一点．设∠TAP=θ.长方形PQCR的面积为S平方米．(1)求S关于θ的函数解析式,(2)设sinθ+cosθ=t.求S关于t的表达式以及S� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是

上一点．设∠TAP=θ，长方形PQCR的面积为S平方米．
（1）求S关于θ的函数解析式；
（2）设sinθ+cosθ=t，求S关于t的表达式以及S的最大值．

分析：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，由ABCD是正方形，推出S关于θ的函数解析式；
（2）设sinθ+cosθ=t，利用平方关系求出sinθcosθ=

t2-1

，通过θ的范围求出t的范围，得到S关于t的表达式，利用二次函数的性质求出S的最大值．

解答：

解：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，
由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP=θ，可得EP=6cosθ，FP=6sinθ，
∴PR=7-6sinθ，PQ=7-6cosθ，（4分）
∴S=PR•PQ=（7-6sinθ）（7-6cosθ）=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ
故S关于θ的函数解析式为S=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ(0≤θ≤

)．（6分）
（2）由sinθ+cosθ=t，可得t²=（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
即sinθcosθ=

t2-1

，
∴S=49-42t+18（t²-1）=18t²-42t+31．　（9分）
又由0≤θ≤

，可得

≤θ+

≤

3π

，
故t=sinθ+cosθ=

sin(θ+

)∈[1，

]，
∴S关于t的表达式为S=18t²-42t+31（t∈[1，

]）．（11分）
又由S=18(t-

)2+

，t∈[1，

]
可知当t=

时，S取最大值，
故S的最大值为67-42

．（14分）

点评：本题是中档题，考查函数解析式的求法，注意必须注明函数的定义域，利用换元法求出函数的表达式，二次函数的最值的求法，考查计算能力．

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