Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且△ABC三边a，b，c上的高分别为$\frac{1}{13}$，$\frac{1}{11}$，$\frac{1}{5}$，则△ABC为（　　）

• A． 锐角三角形
• B． 直角三角形
• C． 钝角三角形
• D． 不存在这样的三角形

Answer 1

分析 由已知及三角形面积的求法可得$\frac{a}{13}$=$\frac{b}{11}=\frac{c}{5}$，设a=13k，b=11k，c=5k，k＞0，则a为最大边，利用余弦定理可求cosA＜0，结合A的范围，可得A为钝角，从而得解△ABC为钝角三角形．

解答 解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且△ABC三边a，b，c上的高分别为$\frac{1}{13}$，$\frac{1}{11}$，$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$×$a×\frac{1}{13}$=$\frac{1}{2}×b×\frac{1}{11}$=$\frac{1}{2}×c×\frac{1}{5}$，
∴可得：$\frac{a}{13}$=$\frac{b}{11}=\frac{c}{5}$，
设a=13k，b=11k，c=5k，k＞0，
则a为最大边，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{121{k}^{2}+25{k}^{2}-169{k}^{2}}{2×11k×5k}$=-$\frac{23}{110}$＜0，
∵A∈（0，π），
∴A为钝角，则△ABC为钝角三角形．
故选：C．

点评 本题主要考查了三角形面积的求法，余弦定理，余弦函数的图象和性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．