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    北京市房山区2011年高三上学期期末统练试卷（数学理）.doc
     

    （本小题共13分）

    已知正方形ABCD的边长为1，．将正方形ABCD沿对角线折起，使，得到三棱锥A—BCD，如图所示．

    （I）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；

    （II）求证：；

    （III）求二面角的余弦值．

     


       

      

    （本小题共13分）

    解：(I) 在正方形ABCD中，是对角线的交点，

    O为BD的中点，                                             -------1分

    又M为AB的中点，

     OM∥AD.                                                   -----2分

    又AD平面ACD，OM平面ACD，                             ------3分

    OM∥平面ACD.                                              --------4分

    （II）证明：在中，，，    ----5分

    ，.                          ---------6分

    又 是正方形ABCD的对角线，

    ，                                               -----7分

    又.                           -----8分

    （III）由（II）知，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系.

    则，               

    是平面的一个法向量.                      -------9分

    ，，                      

    设平面的法向量,则，.

    即，                              -------11分

    所以且令则，，解得.

                                                                -----12分

    从而，二面角的余弦值为.

                               --------13分

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    （本小题共13分）

    在中，角A、B、C的对边分别为、、，角A、B、C成等差数列，，边的长为．

    （I）求边的长；

    （II）求的面积．

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    （本小题共14分）

    已知数列中，，设．

    （Ⅰ）试写出数列的前三项；

    （Ⅱ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

    （Ⅲ）设的前项和为，求证：．

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    （本小题共14分）

    设函数．

    （Ⅰ）求函数的定义域及其导数；

    （Ⅱ）当时，求函数的单调区间；

    （Ⅲ）当时，令，若在上的最大值为，求实数的值．

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    如图所示，是定义在区间（）上的奇函数，令，并有关于函数的四个论断：

    ①若，对于内的任意实数（），恒成立；

    ②函数是奇函数的充要条件是；

    ③若，，则方程必有3个实数根；

    ④，的导函数有两个零点；

    其中所有正确结论的序号是                 ．

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