Question

【题目】已知O是边长为 的正方形ABCD的中心，点E、F分别是AD、BC的中点，沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D﹣AC﹣B； （Ⅰ）求∠EOF的大小；
（Ⅱ）求二面角E﹣OF﹣A的余弦值；
（Ⅲ）求点D到面EOF的距离．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）以O点为原点，以 的方向

为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的坐标系，

则F（1，1，0），E（0，﹣1，1），

∴ ， ， ，

∴ ，∴ ，

（Ⅱ）设平面EOF的法向量为 ，则 ，

即 ，令x=1，则y=﹣1，z=﹣1，

得 ，

又平面FOA的法向量为 ，

，

二面角E﹣OF﹣A的余弦值为 ．

（Ⅲ）∵D（0，0，2），E（0，﹣1，1），∴

∴点D到平面EOF的距离为 ．

【解析】（Ⅰ）以O点为原点，以 的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的坐标系，求出相关点的坐标，求出 ， ，然后求解∠EOF的大小．（Ⅱ）求出平面EOF的法向量，平面FOA的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角E﹣OF﹣A的余弦值．（Ⅲ）求出 ，利用空间向量距离公式求解即可．