Question

2．已知数列{a_n} 是各项均为正数的等比数列，且a₂=1，a₃+a₄=6
（Ⅰ）求数列{a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n-n} 的前n 项和为S_n，比较S₄ 和S₅ 的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由数列{a_n-n} 的前n 项和S_n 的意义可得S₅-S₄=a₅-5，进而得出．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n} 的公比为q，由a₃+a₄=6，
可得${a_2}q+{a_2}{q^2}=6$ 又a₂=1，所以q+q²=6，
解得q=2 或q=-3，
因为a_n＞0 （n=1，2，3，…），所以$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=q＞0$．
所以q=2，解得${a_1}=\frac{1}{2}$，
所以，数列{a_n} 的通项${a_n}={2^{n-2}}，（n=1，2，3，…）$．．
（Ⅱ）由数列{a_n-n} 的前n 项和S_n 的意义可得S₅-S₄=a₅-5，
所以${S_5}-{S_4}={2^{5-2}}-5=3＞0$，
所以S₅＞S₄．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．