Question

下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为A_ij．
（1）设S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{b_n}．试证不存在正整数k和m（1＜k＜m），使得b₁，b_k，b_m成等比数列；
（2）对于（1）中的数列{b_n}，是否存在正整数p和r （1＜r＜p＜150），使得b₁，b_r，b_p成等差数列．若存在，写出p，r的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）假设存在k、m，1＜k＜m，使得b₁，b_k，b_m成等比数列，则根据等比中项的性质可知b₁b_m=b_k²，根据题意b_n=A_nn=（n+2）²-4；求得（m+2）²-[（k+2）²-8]²=8，同时1＜k＜m，则可推断k≥2、m≥3，进而可知（m+2）+（k+2）²-8≥13进而可得出与（m+2）-（k+2）²+8∈Z矛盾，推断出不存在正整数k和m（1＜k＜m），使得b₁，b_k，b_m成等比数列．
（2）假设存在满足条件的p，r，则根据等差中项的性质可知2（r²+4r-4）=1+（p²+4p-4），令求得p和r．
解答：解：（1）证明：假设存在k、m，1＜k＜m，使得b₁，b_k，b_m成等比数列，
即b₁b_m=b_k²，
∵b_n=A_nn=（n+2）²-4；
∴1×[（m+2）²-8]=[（k+2）²-8]²
得（m+2）²-[（k+2）²-8]²=8，
即[（m+2）+（k+2）²-8][（m+2）-（k+2）²+8]=8，
又∵1＜k＜m，且k、m∈N，
∴k≥2、m≥3，（m+2）+（k+2）²-8≥5+16-8=13
∴，这与（m+2）-（k+2）²+8∈Z矛盾，
所以不存在正整数k和m（1＜k＜m），使得b₁，b_k，b_m成等比数列．
（2）解：假设存在满足条件的p，r，那么2（r²+4r-4）=1+（p²+4p-4），
即2（r+5）（r-1）=（p+5）（p-1）
不妨令
得
所以存在r=13，p=19使得b₁，b_r，b_p成等差数列．
点评：本题主要考查了数列的应用，不等式的证明，等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．