【题目】已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若存在实数
，使得
，求正实数
的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】
（1）求出定义域以及
，分类讨论
，求出大于0和小于0的区间，从而得到
的单调区间；
（2）结合（1）的单调性，分类讨论，分别求出
和
以及
函数在
上的单调区间以及最小值，从而求出的范围。
（1）的定义域为
，
.
当
时，
，则在上单调递增；
当
时，由得：
﹔由
得：
.
所以在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增。
①当
即时，在
上单调递增，
不符合题意；
②当
即时，在
上单调递减，在
上单调递增，由
，解得：
；
③当
即时，在上单调递减，由
，
解得：．
综上所述：a的取值范围是.
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【题目】已知向量
，
，
，
，函数
，
的最小正周期为
．
（1）求的单调增区间；
（2）方程
；在
上有且只有一个解，求实数n的取值范围；
（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得
+
+m（
-
）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．
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【题目】在直角坐标系
中，已知一动圆经过点
且在
轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线
．
（1）求曲线
的方程；
（2）过点
作互相垂直的两条直线
，
，
与曲线
交于
，
两点
与曲线
交于
，
两点，线段
，
的中点分别为
，
，求证：直线
过定点
，并求出定点
的坐标．
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【题目】设抛物线
的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点
.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设过点
的直线
分别与抛物线C交于点D，E和点G，H，且
，求四边形
面积的最小值.
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【题目】已知椭圆
的离心率
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
与椭圆相交于不同的两点
，已知点
的坐标为（
），点
在线段
的垂直平分线上，且
，求
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【题目】在黄陵中学举行的数学知识竞赛中，将高二两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.
(1)求第二小组的频率；
(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？
(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？(不必说明理由)
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