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在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(0,1),C(-1,0),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(4xy,2x2-2y2),则当点P沿着折线A-B-C运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是(  )
分析:映射f将xOy平面上的点P(u,v)对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'(4xy,2x2-2y2),求在映射f的作用下,动点P'的轨迹,就是求动点的横纵坐标所满足的函数关系式,把动点的坐标设出,借助于参数方程消掉参数即可.
解答:解:当点P沿着折线A-B运动时,x、y的关系为y=-x+1(0≤x≤1)
设p′(u,v),则
u=4xy
v=2x2-2y2

所以
u=4x(-x+1)=-4x2+4x①
v=2x2-2(-x+1)2=4x-2②

由②得x=
v+2
4
                ③
把③代入①得v2=-4u+4(0≤u≤1)
图象为抛物线在v轴右侧部分;
当点P沿着折线B-C运动时,x、y的关系为y=x+1(-1≤x≤0)
u=4x(x+1)=4x2+4x
v=2x2-2(x+1)2=-4x-2

消掉参数得vv2=4u+4(-1≤u≤0),
图象为v轴左侧部分.
所以在映射f的作用下,动点P'的轨迹是抛物线的两部分.
故选A.
点评:本题考查了映射的概念,象与原象的关系,以及考查含参数方程的消参方法,计算能力也得到培养.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xoy中,已知圆心在直线y=x+4上,半径为2
2
的圆C经过坐标原点O,椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程;
(2)若F为椭圆的右焦点,点P在圆C上,且满足PF=4,求点P的坐标.

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3
5
,点B的纵坐标是
12
13
,则sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xOy中,若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1
的离心率为
1
2
,则m的值为
4
4

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(2013•泰州三模)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
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科目:高中数学 来源: 题型:

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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F1(-1,0),且椭圆C的离心率e=
1
2

(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的上下顶点分别为A1,A2,Q是椭圆C上异于A1,A2的任一点,直线QA1,QA2分别交x轴于点S,T,证明:|OS|•|OT|为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆O:x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.

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