Question

（2013•西城区一模）已知数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项和为S_n．若an+1=

an 2 ， an是偶数 3an+1，an是奇数

且S₃=29，则a₁=

5

；S_3n=

7n+22

．

Answer 1

分析：通过对a₁分4k，4k+1，4k+2，4k+3（k∈N^*）讨论，及与已知条件，结合S₃=29，即可求出a₁；通过求出a₁，a₂，…，a₉，知道：从a₄开始数列{a_n}是一个周期为3的数列，进而即可得到S_3n．

解答：解：（1）①若a1=4k(k∈N*)，则a₂=2k，a₃=k，∴S₃=a₁+a₂+a₃=7k=29，k=

29

7

不是整数，舍去；
②若a₁=4k+1，则a₂=3（4k+1）+1=12k+4，a₃=6k+2，∴S₃=a₁+a₂+a₃=22k+7=29，解得k=1，∴a₁=5．
③若a₁=4k+2，则a2=

a1

2

=2k+1，a₃=3a₂+1=3（2k+1）+1=6k+4，则S₃=a₁+a₂+a₃=12k+7=29，解得k=

11

6

，应舍去；
④若a₁=4k+3，则a₂=3（4k+3）+1=12k+10，a3=

a2

2

=6k+5，则S₃=a₁+a₂+a₃=22k+18=29，解得k=

1

2

不是整数，舍去．
综上可得：a₁=5
（2）∵a₁=5，a₂=16，a₃=8，∴a₄=4，a₅=2，a₆=1，a₇=4，a₈=2，a₉=1…．
可以看到：从a₄开始数列{a_n}是一个周期为3的数列，即a_n+3=a_n，（n≥4）．
因此，当n≥2时，S_3n=29+7（n-1）=7n+22，当n=1时，上式也成立，故S_3n=7n+22．

点评：数列掌握分类讨论的思想方法和数列的周期性是解题的关键．