Question

已知a＞0，且a≠1，f(logax)=

a

a2-1

(x-

1

x

)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性；
（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的集合M．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数的性质结合换元法令t=log_ax，从而推出x=a^t，导出f（t）后，直接把f（t）中的变量t都换成x就得到f（x）．
（2）求出f（-x），然后把f（-x）和f（x）进行比较，若f（-x）=f（x），则f（x）是奇函数；若f（-x）=-f（x），则f（x）是偶函数；若f（-x）≠±f（x），则f（x）是非奇非偶函数．利用单调函数的定义和性质证明单调性．
（3）结合f（x）的奇偶性与单调性进行求解．y=f（x），（x∈R）既是奇函数又是增函数，故由f（1-m）+f（1-m²）＜0可知f（1-m）＜-f（1-m²），即f（1-m）＜f（m²-1），再y=f（x）在（-1，1）上是增函数求解m的取值范围．

解答：解：（1）令t=log_ax（t∈R），
则x=a^t，f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)．
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)（x∈R）．
（2）∵f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-

a

a2-1

(ax-a-x)=-f(x)，且x∈R，
∴f（x）为奇函数．
当a＞1时，指数函数y=a^x是增函数，y=(

1

a

)x=a-x是减函数，y=-a^-x是增函数．
∴y=a^x-a^-x为增函数，
又因为

a

a2-1

＞0，
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，（x∈R）是增函数．
当0＜a＜1时，指数函数y=a^x是减函数，
y=(

1

a

)x=a-x是增函数，y=-a^-x是减函数．
∴u（x）=a^x-a^-x为减函数．
又因为

a

a2-1

＜0，
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，（x∈R）是增函数．
综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x），（x∈R）都是增函数．
（3）由（2）可知y=f（x），（x∈R）既是奇函数又是增函数．
∵f（1-m）+f（1-m²）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m²），
又y=f（x），（x∈R）是奇函数，
∴f（1-m）＜f（m²-1），，
因为函数y=f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴-1＜1-m＜m²-1＜1，
解之得：1＜m＜

2

．

点评：合理选取函数的性质能够有效地简化运算．