Question

【题目】已知点M（﹣1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到M的距离均是到点N距离的 倍．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知m≠0，设直线l1：x﹣my﹣1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+y﹣m=0交曲线E于B，D两点，C，D两点均在x轴下方，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设曲线E上任意一点坐标为（x，y），

由题意， = ，

整理得x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3为所求

（2）解：由题意可知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N（1，0）

则四边形的面积：S=

取AC的中点P，BD的中点Q，连结EP、EQ，

EP2=3﹣ AC2，EQ2=3﹣ BD2，

又可知四边形NPEQ为矩形，所以有EP2+EQ2=EN2=4

整理得：AC2+BD2=8

故S= ≤ =2

当AC=BD，即m=1时，即面积最大值为2

【解析】（1）设出点坐标，由题目条件进行计算即可；（2）四边形的面积：S= ，取AC的中点P，BD的中点Q，连结EP、EQ，求出AC2+BD2=8，利用基本不等式可得结论．