Question

函数f（x）=2cos²x+sin2x-1，给出下列四个命题：
①函数在区间上是减函数；
②直线是函数图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可由函数的图象向左平移个单位长度而得到；
④若，则f（x）的值域是．
其中所有正确命题的序号是________．

Answer 1

①②④
分析：化简函数为同角同名函数，利用2cos²x-1=cos2x，sin2x+cos2x=）=sin（2x+）．再利用正弦函数的性质，对称轴方程x=kπ+，k∈z；递减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈z，及函数图象的变化规律解决．
解答：首先对函数进行化简，f（x）=2cos²x+sin2x-1=sin2x+cos2x=（sin2xcos+cos2xsin）=sin（2x+）．
对①，令2x+=kπ+，得对称轴方程x=+，k∈z，∴②正确；
对①，令2kπ+＜2x+＜2kπ+，得 kπ+＜x＜kπ+，k∈z．函数的递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z，∴①√；
对③，平移的单位应是，∴③×．
对④，当x∈[0，]时f（x）单调递增，当x∈[，]时单调递减，f（）=，f（）=-1∴值域是[-1，]，∴④√．
故答案是①②④
点评：牢记三角函数的性质及图象变化规律，利用整体代入求解复合函数的对称轴、单调区间、值域是本题的关键．