Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

1

2

n•a_n+1，n∈N^*，其中a₁=1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

1

3an+1-2

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

1

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）令n=1，得S1=a1=

1

2

a2，由a₁=1，得a₂=2．当n≥2时，推导出

an+1

an

=

n+1

n

，由此利用累乘法能求出a_n=n．
（2）由b_n=

1

3an+1-2

=

1

3n+1-2

=

1

3•3n-2

=

1

2•3n+3n-2

＜

1

2•3n

，利用放缩法和不等式的性质能证明T_n＜

1

4

．

解答： （1）解：∵S_n=

1

2

n•a_n+1，n∈N^*，
∴令n=1，得S1=a1=

1

2

a2，
由已知a₁=1，得a₂=2．…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

nan+1-

1

2

(n-1)an，
即

1

2

(n+1)an=

1

2

nan+1，
即得：

an+1

an

=

n+1

n

，n≥2，…（4分）
∴

an

an-1

×

an-1

an-2

×…×

a3

a2

=

n

n-1

×

n-1

n-2

×…×

3

2

，n≥3，
即

an

a2

=

n

2

，n≥3，…（6分）
又∵a₂=2，∴a_n=n，
又∵a₁=1，∴a_n=n，n∈N^*．…（7分）
（2）证明：∵a_n=n，
∴b_n=

1

3an+1-2

=

1

3n+1-2

=

1

3•3n-2

=

1

2•3n+3n-2

＜

1

2•3n

，…（11分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
＜

1

2×3

+

1

2×32

+…+

1

2×3n

=

1

2

（

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

）
=

1

2

×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

4

(1-

1

3n

)＜

1

4

，
∴T_n＜

1

4

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式和不等式的证明，解题时要认真审题，注意累乘法和放缩法的合理运用．