Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且a_n与1的等差中项等于S_n与1的等比中项．
（1）求a₁的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

2

1+an

+(-1)n-1×2n+1λ，若数列{b_n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由a_n与1的等差中项等于S_n与1的等比中项列出递推式，取n=1求出a₁，取n=n-1得到另一递推式，作差后整理得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，再由数列是正项数列得到a_n-a_n-1=2，然后直接写出等差数列的通项公式；
（2）把（1）中求出的通项公式代入bn=

2

1+an

+(-1)n-1×2n+1λ，根据数列{b_n}是单调递增数列得到bn-bn-1=4n+1+λ×(-1)n×2n+2-4n-λ×(-1)n-1×2n-1=3×4ⁿ-3λ×（-1）^n-1×2ⁿ⁺¹＞0恒成立．分n为偶数和奇数讨论后求出λ的取值范围．

解答：解：（1）由已知得，

an+1

2

=

Sn

，4Sn=an2+2an+1．
当n=1时，求得a₁=1
当n≥2时，4Sn-1=an-12+2an-1+1
所以4an=4Sn-4Sn-1=an2+2an-an-12-2an-1
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
因为{a_n}的各项均为正数，所以a_n-a_n-1=2，
又a₁=1，所以a_n=2n-1；
（2）由（1）得，bn=4n+λ×(-1)n-1×2n+1，
又数列{b_n}是单调递增数列，所以b_n＜b_n+1恒成立，
从而bn-bn-1=4n+1+λ×(-1)n×2n+2-4n-λ×(-1)n-1×2n-1
=3×4ⁿ-3λ×（-1）^n-1×2ⁿ⁺¹＞0恒成立．
①当n是奇数时，得λ＜2^n-1恒成立，2^n-1的最小值为1，λ＜1
②当n是偶数时，得λ＞-2^n-1恒成立，-2^n-1最大值为-2，λ＞-2．
综上得：-2＜λ＜1．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了数列的函数特性，考查了分类讨论得数学思想方法，是中档题．