Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

(b-1)x2+c（b，c为常数）．
（1）若f（x）在x=1和x=3处取得最值，求b，c的值；
（2）若f（x）在x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）上单调递增，且在上单调递减，又满足x₂-x₁＞1，求证：b²＞2（b+2c）；
（3）在（2）的条件下，若t＜x₁，比较t²+bt+c和x₁的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的导函数，故x=1和x=3是导函数的零点从而得到答案．
（2）根据导函数大于0时原函数单调增，导函数小于0时原函数单调递减代入可得答案．
（3）根据x₁，x₂是x²+（b-1）x+c=0两根，所以可得x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂），然后整理放缩可得答案．

解答：解：（1）f'（x）=x²+（b-1）x+c，由题意知1、3是方程x²+（b-1）x+c=0两根，∴

-(b-1)=1+3 c=1×3

，
∴b=-3，c=3
（2）由题意知，当x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，
∴x₁，x₂是x²+（b-1）x+c=0两根，x₁+x₂=1-b，x₁x₂=c，
∴b²-2（b+2c）=b²-2b-4c=[1-（x+x）²]-2[1-（x₁+x₂）]-4x₁x₂=（x+x）²-1，
∵x₁-x₂＞1，∴（x+x）²-1＞0，
∴b²＞2（b+2c）．
（3）在（2）下，由上题知x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂），即x²+bx+c=（x-x₁）（x-x₂）+x，
∴t²+bt+c-x₁=（t-x₁）（t-x₂）+t-x₁=（t-x₁）（t+1-x₂）．
∵x₂＞1+x₁＞1+t，
∴1+t-x₂＜0．
∵0＜t＜x₁，∴t-x₁＜0，
∴（t-x₁）（t+1-x₂）＜0，
∴t²+bt+c＞x₁．

点评：本题主要考查导函数的正负和原函数的增减性的关系．属难题．