Question

如图，DC⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=

1

2

BC=k•CD，点E在BD上，且BE=3ED．
（Ⅰ）求证：AE⊥BC；
（Ⅱ）若二面角B-AE-C的平面角的余弦值为-

5

5

，求k的值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以F为原点，FA为x轴，FC为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，由此能证明AE⊥BC．
（2）分别求出平面ABE的法向量和平面ACE的法向量，由利用根据二面角B-AE-C的平面角的余弦值为-

5

5

，能求出k=

6

3

．

解答： （1）证明：过E作EF⊥平面ABC，交BC于F，
以F为原点，FA为x轴，FC为y轴，FE为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（

3

2

，0，0），B（0，-

3

2

，0），C（0，

1

2

，0），E（0，0，

3

4k

），

AE

=（-

3

2

，0，

3

4k

），

BC

=（0，2，0），
∵

AE

•

BC

=0，
∴AE⊥BC．
（2）解：

AE

=（-

3

2

，0，

3

4k

），

AC

=（-

3

2

，

1

2

，0），

AB

=（-

3

2

，-

3

2

，0），
设平面ABE的法向量为

n

=（x，y，z），
则

AB • n =- 3 2 x- 3 2 y=0 AE • n =- 3 2 x+ 3 4k z=0

，
令z=1，得

n

=（

3

2k

，-

1

2k

，1）．
设平面ACE的法向量为

m

=（a，b，c），
则

AC • m =- 3 2 a+ 1 2 b=0 AE • m =- 3 2 a+ 3 4k c=0

，
令c=1，得

m

=（

3

2k

，

3

2k

，1）．
∵二面角B-AE-C的平面角的余弦值为-

5

5

，
∴

5

5

=

1

3 k2 +1 • 1 k2 +1

，解得k=

6

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．