Question

（2011•聊城一模）如图，四棱锥中S-ABCD中，底面ABCD是棱形，其对角线的交点为O，且SA=AC，SA⊥BD，
（Ⅰ）求证：SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设∠BAD=60°，AB=SO=2，P是侧棱上的一点，且SD⊥平面APC，求直线SB与平面APC所成的角的正弦值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点M，使SM∥平面APC？若存在，求出BM的长，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中四棱锥中S-ABCD中，底面ABCD是菱形，及SA=AC，SA⊥BD，我们易得到BD⊥平面SAC，SO⊥BD，SO⊥AC，进而由线面垂直的判定定理得到SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）以O为原点，以OA，OB，OS为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，结合∠BAD=60°，AB=SO=2，P是侧棱上的一点，且SD⊥平面APC，我们求出棱锥中每个顶点的坐标，进而求出直线SB的方向向量及平面APC的法向量，然后代入线面夹角向量法公式，即可得到直线SB与平面APC所成的角的正弦值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设

CM

=λ

CS

，然后根据SM∥平面APC，则直线SM的方向向量及平面APC的法向量垂直，构造关于λ的方程，解方程即可得到λ的值，进而得到答案．

解答：解：（I）证明：∵四棱锥中S-ABCD中，底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，又由SA⊥BD，SA∩AC=A
∴BD⊥平面SAC，又由SO?平面SAC，
∴SO⊥BD，
又由SA=AC，O为AC的中点，
故SO⊥AC，又由BD∩AC=O
∴SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）以O为原点，以OA，OB，OS为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系
∵∠BAD=60°，底面ABCD为菱形，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
又由AB=SO=2，
∴B（0，1，0），D（0，-1，0），S（0，0，2），C（-

3

，0，0）
∴

SB

=（0，1，-2），

SD

=（0，-1，-2）
∵SD⊥平面APC，
∴

SD

=（0，-1，-2）是平面APC的一个法向量
∵cos＜

SB

，

SD

＞=

-1+4

5 × 5

=

3

5

∴直线SB与平面APC所成角的正弦值为

3

5

（III）假设在侧棱SC上存在一点M满足题意，
设

CM

=λ

CS

，
则

BM

=

BC

+λ

CS

=（-

3

，-1，0）+λ(

3

，0，2)=（

3

λ-

3

，-1，2λ）
由BM∥平面APC得，BM⊥SD，
∴

BM

•

SD

=0，即1-4λ=0
∴λ=

1

4

∵0＜

1

4

＜1
∴在侧棱SC上存在一点M，使BM∥平面PAC，且CM=

1

4

SC=

7

4

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面所成的解，要求熟练掌握菱形的几何特征，根据其它已知条件，结合线面垂直及线面平行的判定定理进行解答．