Question

【题目】记函数的定义域为D，若存在，使成立，则称以为坐标的点是函数的图象上的“稳定点”．

（1）若函数的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a的取值范围；

（2）已知定义在实数集R上的奇函数存在有限个“稳定点”，求证：必有奇数个“稳定点”．

Answer 1

【答案】(1) 或且．(2)证明见解析

【解析】

（1）设是函数的图象上的两个“稳定点”，由定义可得，所以是方程的两相异实根且不等于a，由此可得关于a的不等式组，解出即可；

（2）由为R上的奇函数可判断原点（0，0）是函数的“稳定点”，只要再说明除原点外“稳定点”成对出现即可；

解：（1）设是函数的图象上的两个“稳定点”，

则，即有

是有两个不相等的实数根且不等于，

，解得或且．

（2）据题意得：是定义在实数集R上的奇函数．

①是奇函数，；所以必是函数的图像上的“稳定点”；

②若，是函数的图像上的“稳定点”；是奇函数，必有，故也是函数的图像上的“稳定点”；也就是说和是成对出现的．

综上所述：必有奇数个“稳定点”．