Question

定义max{a，b}=

a(a≥b) b(a＜b)

，已知实数x，y满足|x|≤2，|y|≤2，设z=max{x+y，2y-x}，则z的最小值是

 

．

Answer 1

分析：本题属于线性规划问题，先找出可行域，即四边形ABCD上及其内部，（x+y）与（2y-x）相等的分界线2x-y=0，令z₁=x+y，点（x，y）在四边形ABCD上及其内部，求得z₁范围；令z₂=2y-x，点（x，y）在四边形ABEF上及其内部（除AB边）求得z₂范围，将这2个范围取并集可得答案．

解答：解：∵（x+y）-（2y-x）=2x-y，
∴z=

x+y (2x-y≥0) 2y-x (2x-y＜0)

，直线2x-y=0
将约束条件

|x|≤2 |y|≤2

所确定的平面区域分为两部分．如图，
令z₁=x+y，点（x，y）在四边形ABCD上及其内部，求得-3≤z₁≤10；
令z₂=2y-x，点（x，y）在四边形ABEF上及其内部（除AB边），
求得-3≤z₂≤8．综上可知，z的取值范围为[-3，10]．
则z的最小值是-3．
故答案为：-3．

点评：表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是z=4x+y还是z=3x-y并没有明确确定下来，直线x+2y=0又将原可行域分为两部分．本题看似风平浪静，实际暗藏玄机，化动为静，在静态状态下，从容破解问题．