Question

已知函数f(x)=

8x-x2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设u=8x-x²，则y=

u

，先求出u的定义域，再求出u的单调区间，即可求得函数y的单调区间．
（Ⅱ）先求出函数的定义域，再利用二次函数的性质求出函数u的值域，即可求得y=

u

的值域．

解答：解：（Ⅰ）设u=8x-x²，则y=

u

． 由u=8x-x²≥0解得 0≤x≤8，故函数的定义域为[0，8]．
由于二次函数u=8x-x² =-（x-4）²+16的对称轴为 x=4，
当x∈[0，4]时，u是x的增函数，故y是增函数． 当x∈[4，8]时，u是x的减函数，故y是减函数．
故函数f（x）的单调递增区间是[0，4]，单调递减区间是[4，8]．
（Ⅱ）由8x-x²=0 求得 x=0，或x=8，所以，当x=0，或x=8时，f_min（x）=0；
当x=4时，u_max=16，这时fmax(x)=

16

=4．

点评：本题主要考查求复合函数的单调区间的方法，求复合函数的值域，体现了等价转化和换元的数学思想，属于基础题．