【题目】设函数,,给定下列命题:
①若方程有两个不同的实数根,则;
②若方程恰好只有一个实数根,则;
③若,总有恒成立,则;
④若函数有两个极值点,则实数.
则正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
利用导数研究函数的单调性,零点,极值以及恒成立问题.
对于①,的定义域,,
令有即,可知在单调递减,在单调递增,,且当时,又,
从而要使得方程有两个不同的实根,即与有两个不同的交点,
所以,故①正确
对于②,易知不是该方程的根,
当时,,方程有且只有一个实数根,等价于和
只有一个交点,,又且,令,即,有,知在和单减,在上单增,是一条渐近线,极小值为。
由大致图像可知或,故②错
对于③ 当时,
恒成立,
等价于恒成立,
即函数在上为增函数,
即恒成立,
即在上恒成立,
令,则,
令得,有,
从而在上单调递增,在上单调递减,
则,
于是,故③正确.
对于④ 有两个不同极值点,
等价于有两个不同的正根,
即方程有两个不同的正根,
由③可知,,即,则④正确.
故正确命题个数为3,故选.
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【题目】已知等比数列的首项为,公比为,其前项和为,下列命题中正确的是______.(写出全部正确命题的序号)
(1)等比数列单调递增的充要条件是,且;
(2)数列:,,,……,也是等比数列;
(3);
(4)点在函数(,为常数,且,)的图像上.
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【题目】下面六个命题中,其中正确的命题序号为______________.
①函数的最小正周期为;
②函数的图象关于点对称;
③函数的图象关于直线对称;
④函数,的单调递减区间为;
⑤将函数向右平移()个单位所得图象关于轴对称,则的最小正值为;
⑥关于的方程的两个实根中,一个根比1大,一个根比-1小,则的取值范围为.
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【题目】某省高考改革方案指出:该省高考考生总成绩将由语文数学英语3门统一高考成绩和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门等级性考试科目中自主选择3个,按获得该次考试有效成绩的考生(缺考考生或未得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级,位次由高到低分为A、B、C、D、E五等级,该省的某市为了解本市万名学生的某次选考历史成绩水平,从中随机抽取了名学生选考历史的原始成绩,将所得成绩整理后,绘制出如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)估算名学生成绩的平均值和中位数(同一组中的
数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)若抽取的分以上的只有名男生,现从抽样的分以上学生中随机抽取人,求抽取到名女生的概率?
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【题目】已知直线、与平面、,下列命题:
①若平行内的一条直线,则;②若垂直内的两条直线,则;③若,,且,,则;④若,,且,则;⑤若,且,则;⑥若,,,则.
其中正确的命题为______(填写所有正确命题的编号).
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【题目】某校初一年级全年级共有名学生,为了拓展学生的知识面,在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读,开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查,得到了如图所示的频率分布直方图(部分已被损毁),统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级人中抽出人来作进一步调查.
(1)从抽出的人中选出人来担任正副组长,求这两个组长中至少有一人的阅读量少于万字的概率;
(2)为进一步了解广泛阅读对今后学习的影响,现从抽出的人中挑选出阅读量低于万字和高于万字的同学,再从中随机选出人来长期跟踪调查,求这人中来自阅读量为万到万字的人数的概率分布列和期望值.
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【题目】(题文)随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”的赞成人数如下表:
年龄(单位:岁) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(1)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成的人数 | |||
不赞成的人数 | |||
合计 |
(2)若从年龄在[25,35)和[55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求3人中至少有1人年龄在[55,65)的概率.
参考公式:,.
参考数据:
0.100 | ||||
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【题目】已知五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,,CD=2DE=2AD=2AB=4,AC=,.
(1)求证:AB平面ADE;
(2)求平面EBC与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
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