Question

9．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的周期和递增区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的零点x₁、x₂，求tan（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析 （1）通过二倍角公式及平方关系化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）（x∈R），进而可得结论；
（2）∵方程g（x）=f（x）-m=0同解于方程f（x）=m在[0，$\frac{π}{2}$]上有解，通过对称性可知x₁与x₂关于直线x=$\frac{3π}{8}$对称，从而$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3π}{8}$，进而可得结论．

解答 解：（1）∵f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x
=1+2sinxcosx-2cos²x
=sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）（x∈R），
∴函数f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵函数y=sinx的单调递增区间为：[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，
∴函数f（x）的周递增区间由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
化简得：kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$（k∈Z），即[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）．
（2）∵方程g（x）=f（x）-m=0同解于f（x）=m；
在直角坐标系中画出函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上的图象，
由图象可知，当且仅当m∈[1，$\sqrt{2}$）时，
方程f（x）=m在[0，$\frac{π}{2}$]上的区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{8}$）和（$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$]有两个不同的解x₁、x₂，
且x₁与x₂关于直线x=$\frac{3π}{8}$对称，即$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3π}{8}$，
∴x₁+x₂=$\frac{3π}{4}$，
故tan（x₁+x₂）=tan$\frac{3π}{4}$=-1．

点评 本题考查三角函数恒等变换的应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．