Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2

2

cos(θ+

π

4

)，直线l的参数方程为

x=t y=-1+2 2 t

（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求圆心的极坐标；
（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为ρ=2

2

cos(θ+

π

4

)，化为ρ²=2

2

(

2

2

ρcosθ-

2

2

ρsinθ)，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出．
（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2

r2-d2

，利用三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为ρ=2

2

cos(θ+

π

4

)，化为ρ²=2

2

(

2

2

ρcosθ-

2

2

ρsinθ)，
把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入可得：圆C的普通方程为x²+y²-2x+2y=0，即（x-1）²+（y+1）²=2．
∴圆心坐标为（1，-1），
∴圆心极坐标为(

2

，

7π

4

)；
（Ⅱ）由直线l的参数方程

x=t y=-1+2 2 t

（t为参数），把t=x代入y=-1+2

2

t可得直线l的普通方程：2

2

x-y-1=0，
∴圆心到直线l的距离d=

|2 2 +1-1|

3

=

2 2

3

，
∴|AB|=2

r2-d2

=2

2- 8 9

=

2 10

3

，
点P直线AB距离的最大值为r+d=

2

+

2 2

3

=

5 2

3

，
Smax=

1

2

×

2 10

3

×

5 2

3

=

10 5

9

．

点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．