Question

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x_n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n	1	2	3	4	5
成绩xn	70	76	72	70	72

（1）求第6位同学的成绩x₆，及这6位同学成绩的标准差s；
（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由题意得

1

6

(70+76+72+70+72+x6)=75，由此能求出x₆=90和这6位同学成绩的标准差．
（2）这6位同学中，成绩落在（70，75）的有编号为3、5两位同学，故ξ的可能取值为：0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）由题意得

1

6

(70+76+72+70+72+x6)=75，（2分）
解得x₆=90，（3分）
这6位同学成绩的标准差：s=

1 6 [(x1- . x )2+(x2- . x )2+…+(x6- . x )2]

=

1 6 (52+12+32+52+32+152)

=7．（6分）
（2）这6位同学中，成绩落在（70，75）的有编号为3、5两位同学，
故ξ的可能取值为：0，1，2．（7分）
且P(ξ=0)=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

，（8分）
P(ξ=1)=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，（9分）
P(ξ=2)=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，（10分）
∴ξ的分布列为：（11分）

ξ	0	1	2
P（ξ）	1 5	3 5	1 5

ξ的数学期望：Eξ=0×

1

5

+1×

3

5

+2×

1

5

=1．（12分）

点评：本题考查标准差的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．