Question

已知函数 f（x）=

1

2

x²-2alnx+（a-2）x，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值．
（Ⅱ）当a=-1时，求证：无论c 取何值，直线y=-6

2

x+c均不可能与函数f（x）相切；
（Ⅲ）是否存在实数a对任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，若存在求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求导后得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性，从而求出函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）把a=-1代入原函数，求出导函数后利用基本不等式求出导函数的值域，从而说明无论c 取何值，直线y=-6

2

x+c均不可能与函数f（x）相切；
（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，假设0＜x₁＜x₂，则f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）-ax，只要使函数g（x）在定义域内为增函数即可，利用其导函数恒大于等于0可求解a的取值范围．

解答：解；（Ⅰ）：（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=1时，f′(x)=

x2-x-2

x

=

(x-2)(x+1)

x

，(x＞0)．
∴当x∈（0，2）时，f^′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f^′（x）＞0．
∴f（x）在x=2时取得最小值，其最小值为f（2）=-2ln2；
（Ⅱ）∵a=-1，∴f′(x)=x+

2

x

-3，
假设直线与f（x）相切，设切点为（x₀，y₀），则f′(x0)=-6

2

．
∵x＞0，∴f′(x)=x0+

2

x0

-3≥2

2

-3＞-6

2

，所以f′(x0)≠-6

2

，
所以无论c取何值，直线y=-6

2

x+c均不可能与函数f（x）相切；
（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，
不妨设0＜x₁＜x₂，则f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立．
令g（x）=f（x）-ax，只要g（x）在（0，+∞）为增函数．
又函数g(x)=

1

2

x2-2alnx-2x．
考查函数g′(x)=x-

2a

x

-2=

x2-2x-2a

x

=

(x-1)2-1-2a

x

．
要使g^′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，只要-1-2a≥0，即a≤-

1

2

，
故存在实数a∈(-∞，-

1

2

]对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立．

点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点出的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造函数法证明不等式恒成立问题，是难题．