Question

设f（x）=a•（log₂x）²+b•log₂x+1（a，b＞为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．
（1） 若f（

1

2

）=0，且f（x）的最小值为0，则F（x）的解析式为

 

；
（2） 在（1）的条件下，若g（x）=

f(x)+k-1

log2x

在[2，4]上是单调函数，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：（1）利用二次函数的最小值公式求出最小值令其为0，列出方程组求出a，b的值；利用奇函数的定义求出x＜0的解析式；求出F（0），得到F（x）的解析式．
（2）令log₂x=t，将g（x）转化为不含对数的函数的单调性问题，求出导函数，令导函数大于等于0或小于等于0恒成立，分离出k转化为函数的最值，求出k的范围

解答：解：∵f(

1

2

)=0，f(x)的最小值为0
∴

a-b+1=0 4a-b2 4a =0

解得

a=1 b=2

设x＜0则-x＞0
∴F（-x）=f（-x）=[log₂（-x）]²+2log₂（-x）+1
∵F（x）为R上的奇函数
∴F（x）=-F（x）=-[log₂（-x）]²-2log₂（-x）-1
∵F（x）为奇函数
∴F（0）=0
∴F(x)=  

(log2x)2+2log2x +1         x＞0 0                                      x=0 -[log2(-x)]2-2log2(-x)-1    x＜0

（2）∴g(x)=

[log2(x)]2+2log2 (x)+k

log2x

令log₂x=t，t∈[1，2]则y=

t2+2t+k

t

，t∈[1，2]是单调函数
∴y′=

t2-k

t2

≥0或y′=

t2-k

t2

≤ 0（ t∈[1，2]）恒成立
∴k≤t²或k≥t²，t∈[1，2]恒成立
∴k≤1或k≥4
故答案为F(x)= 

(log2x)2+2log2x +1         x＞0 0                                      x=0 -[log2(-x)]2-2log2(-x)-1    x＜0

；k≤1或k≥4

点评：本题考查求函数解析式的方法：待定系数法，直接法、考查奇函数的定义、考查知函数的单调性求参数的范围常转化为导函数大于等于0或小于等于0恒成立、考查解决恒成立问题常分离参数求函数的最值．