试题分析:(1)设三种不同颜色分别为甲、乙、丙三种.

时,第1区域有3种选择, 第2区域有2种选择,第3区域有2种选择,因为第4区域要与第1区域颜色不同,故对第3区域的选择分类讨论:当第3区域与第1区域颜色相同时,第4区域有2种选择;当第3区域与第1区域颜色不同时,第4区域仅有1种选择.所以

;(2)当将圆分成n个区域,用3种不同颜色给每一个区域染色时,第1区域有3种染色方案,第2区域至第

区域有2种染色方案.此时考虑第

区域也有2种涂色方案,在此情况下有两种情况:
情况一:第

区域与第1区域同色,此时相当将这两区域重合,这时问题转化为3种不同颜色给圆上

个区域涂色,即为

种染色方案;
情况二:第

区域与第1区域不同色,此时问题就转化为用3种不同颜色给圆上

个区域染色,且相邻区域颜色互异,即此时的情况就是

.根据分类原理可知

,且满足初始条件:

.
即递推公式为

,由

变形得

,所以数列

是以-1为公比的等比数列.所以

,即

.当

时,易知有3种染色方法,即

,不满足上述通项公式;当

时,易知有

种染色方法,即

,满足上述通项公式;当

时,易知有

种染色方法,即

,满足上述通项公式.
综上所述,

.