Question

（2008•普陀区二模）已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是以10为首项，以-2为公差的等差数列；a_m+1，a_m+2，…，a_2m是以

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列（m≥3，m∈N^*）；并且对一切正整数n，都有a_n+2m=a_n成立．
（1）当m=3时，请依次写出数列{a_n}的前12项；
（2）若a₂₃=-2，试求m的值；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，问是否存在m的值，使得S_128m+3≥2008成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）等差数列通项公式岙a_n=10+（n-1）（-2）=-2n+12．由 对一切正整数n，都有a_n+2m=a_n成立．数列为周期数列，周期为2m．当m=3时，先求出数列{a_n}的前6项，再由周期为6写出数列{a_n}的第7至12项．
（2）由题意知，a₂₃=-2是等差数列中的项，求出项数n，据a_n+2m=a_n成立知，数列为周期数列，周期为2m，由n+2m=n解出m的值．
（3）由S128m+3=64S2m+a1+a2+a3=64(10m+

m(m-1)

2

(-2)+

1 2 (1-( 1 2 )m)

1- 1 2

)+10+8+6．知S128m+3=704m-64m2+88-64•(

1

2

)m≥2008，设f（m）=704m-64m²，g(m)=1920+64•(

1

2

)m，g（m）＞1920；f（m）=-64（m²-11m），在m=5或6时取最大f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，所以不存在这样的m．

解答：解：（1）等差数列通项公式：a_n=10+（n-1）（-2）=-2n+12，
等比数列通项公式：a_m+n=

1

2

•(

1

2

)m+n-1=(

1

2

)m+n，
∵对一切正整数n，都有a_n+2m=a_n成立．
∴数列为周期数列，周期为2m．
当m=3时，a₁=-2×1+12=10，
a₂=-2×2+12=8，
a₃=-2×3+12=6，
a₄=-2×4+12=4，
a₅=-2×5+12=2，
a₆=-2×6+12=0，
a₇=a₁=10，
a₈=a₂=8，
a₉=a₃=6，
a₁₀=a₄=4，
a₁₁=a₅=2，
a₁₂=a₆=0．
（2）由题意知，a₂₃=-2是等差数列中的项，在等差数列中，
令-2n+12=-2，n=7，
对一切正整数n，都有a_n+2m=a_n成立，a₂₃=-2，
∴7+2m=23，
∴m=8．
（3）S128m+3=64S2m+a1+a2+a3=64(10m+

m(m-1)

2

(-2)+

1 2 (1-( 1 2 )m)

1- 1 2

)+10+8+6 S128m+3=704m-64m2+88-64•(

1

2

)m≥2008
704m-64m2≥2008-88+64•(

1

2

)m，
设f（m）=704m-64m²，g(m)=1920+64•(

1

2

)m
g（m）＞1920；
f（m）=-64（m²-11m），对称轴 m=

11

2

∉N*，
所以f（m）在m=5或6时取最大f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，
所以不存在这样的m．

点评：本题考查数列概念，数列表示法及等比数列性质和数列与不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意计算能力的培养．