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15.已知f(x)=bx+1为x的一次函数,b为不等于1的常数,且g(n)=$\left\{\begin{array}{l}{1(n=0)}\\{f[g(n-1)](n≥1)}\end{array}\right.$.
(1)若an=g(n)-g(n-1)(n∈N*),求证:{an}为等比数列;
(2)设Sn=a1+a2+a3+…+an,求Sn(用n,b表示).

分析 (1)通过代入计算可知g(n)=bn+bn-1+…+b+1,进而可得结论;
(2)通过(1)及等比数列的求和公式计算即得结论.

解答 (1)证明:依题意,g(0)=1,
g(1)=f[g(0)]=f(1)=b+1,
g(2)=f[g(1)]=f(b+1)=b2+b+1,
…,
g(n)=bn+bn-1+…+b+1,
又∵an=g(n)-g(n-1)(n∈N*),
∴an=(bn+bn-1+…+b+1)-(bn-1+…+b+1)=bn
于是数列{an}为等比数列;
(2)解:由(1)及b≠1可知Sn=$\frac{b(1-{b}^{n})}{1-b}$.

点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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