Question

11．已知函数f（x）=x³-$\frac{1}{2}m{x^2}$-1的导函数为f′（x），g（x）=e^mx+f′（x）．
（Ⅰ）若f（2）=11，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证明函数g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤e+1，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（2）=11，求得m=-2，求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；
（Ⅱ）利用g′（x）≥0说明函数为增函数，利用g′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的m，g（x）在[-1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x³-$\frac{1}{2}m{x^2}$-1的导函数为f′（x）=3x²-mx，
f（2）=11，可得8-2m-1=11，解得m=-2，
即f（x）=x³+x²-1导数为f′（x）=3x²+2x，
在点（1，f（1））处的切线斜率为5，切点为（1，1），
则在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=5（x-1），
即为5x-y-4=0；
（Ⅱ）证明：g（x）=e^mx+f′（x）=e^mx+3x²-mx．
g′（x）=m（e^mx-1）+6x．
若m≥0，则当x∈（-∞，0）时，e^mx-1≤0，g′（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，e^mx-1≥0，g′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（-∞，0）时，e^mx-1＞0，g′（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，e^mx-1＜0，g′（x）＞0．
所以，g（x）在（-∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（Ⅲ）由（1）知，对任意的m，g（x）在[-1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，
故g（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤e+1的充要条件是
$\left\{\begin{array}{l}{g（1）-g（0）≤e+1}\\{g（-1）-g（0）≤e+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{m}-m+2≤e+1}\\{{e}^{-m}+m+2≤e+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{m}-m≤e-1}\\{{e}^{-m}+m≤e-1}\end{array}\right.$，
设函数h（t）=e^t-t-e+1，则h′（t）=e^t-1．
当t＜0时，h′（t）＜0；当t＞0时，h′（t）＞0．
故h（t）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又h（1）=0，h（-1）=e^-1+2-e＜0，故当t∈[-1，1]时，h（t）≤0．
当m∈[-1，1]时，h（m）≤0，h（-m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由h（t）的单调性，h（m）＞0，即e^m-m＞e-1．
当m＜-1时，h（-m）＞0，即e^-m+m＞e-1．
综上，m的取值范围是[-1，1]．

点评 本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题．