Question

附加题（必做题）
在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取3个不同的数字．
（1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？
（2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数（例如：若取出的三个数字为0，1，2，则相邻的组为0，1和1，2，此时ξ的值是2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）要想组成的三位数能被3整除，把0，1，2，3，…，9这十个自然数中分为三组：0，3，6，9；1，4，7；2，5，8．求出每组中各取一个数，含0，与每组中各取一个数不含0以及从每组中各取三个数的所求可能，相加即可；、（2）随机变量ξ的取值为0，1，2，然后根据等可能事件的概率公式求出相应的概率，得到ξ的分布列，最后利用数学期望公式解之即可．

解答：解：（1）要想组成的三位数能被3整除，把0，1，2，3，…，9
这十个自然数中分为三组：0，3，6，9；1，4，7；2，5，8．
若每组中各取一个数，含0，共有C₃¹C₃¹C₂¹A₂²=36种；
若每组中各取一个数不含0，共有C₃¹C₃¹C₃¹A₃³=162种；
若从每组中各取三个数，共有3A₃³+C₃²A₂²A₂²=30种．
所以组成的三位数能被3整除，共有36+162+30=228种．…（6分）
（2）随机变量ξ的取值为0，1，2，
P（ξ=2）=

8

C 3 10

=

1

15

P（ξ=1）=

2(7+6+5+4+3+2+1)

C 3 10

=

7

15

P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=1-

1

15

-

7

15

=

7

15

ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	7 15	7 15	1 15

所以ξ的数学期望为Eξ=0×

7

15

+1×

7

15

+2×

1

15

=

3

5

．…（10分）

点评：本题主要考查了等可能事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．