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已知直线的方向向量为及定点,动点满足,
MN
+
MF
=2
MG
MG
•(
MN
-
MF
)=0
,其中点N在直线l上.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,若α+β=θ为定值(0<θ<π),试问直线AB是否恒过定点,若AB恒过定点,请求出该定点的坐标,若AB不恒过定点,请说明理由.
分析:(1)由题意知:|MF|=|MN|,由抛物线的定义知,点M的轨迹为抛物线,由此能求出轨迹方程.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x1≠x2,所以AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b,韦达定理知y1+y2=
8
k
y1y2=
8b
k
,当θ=
π
2
时,直线AB恒过定点(-8,0);当θ≠
π
2
时,直线AB恒过定点(-8,
8
tanθ
)
解答:解:(1)由题意知:|MF|=|MN|,
由抛物线的定义知,点M的轨迹为抛物线,其中F(2,0)为焦点,
x=-2为准线,
所以轨迹方程为y2=8x;…(4分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得x1≠x2(否则α+β=π)且x1,x2≠0,
所以AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b,
显然x1=
y
2
1
8
x2=
y
2
2
8

将y=kx+b与y2=8x消去x,得ky2-8y+8b=0,由韦达定理知y1+y2=
8
k
y1y2=
8b
k
①…(6分)
(i)当θ=
π
2
时,即α+β=
π
2
时,
tanα•tanβ=1,
所以
y1
x1
y2
x2
=1,x1x2-y1y2=0
y
2
1
y
2
2
64
-y1y2=0

所以y1y2=64,由①知:
8b
k
=64
,所以b=8k.
因此直线AB的方程可表示为y=kx+8k,
即k(x+8)-y=0所以直线AB恒过定点(-8,0)…(8分)
(ii)当θ≠
π
2
时,由α+β=θ,
得tanθ=tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=
8(y1+y2)
y1y2-64
,…(10分)
将①式代入上式整理化简可得:tanθ=
8
b-8k

所以b=
8
tanθ
+8k

此时,直线AB的方程可表示为y=kx+
8
tanθ
+8k

k(x+8)-(y-
8
tanθ
)=0

所以直线AB恒过定点(-8,
8
tanθ
)

θ=
π
2
时,AB恒过定点(-8,0),当θ≠
π
2
时,
AB恒过定点(-8,
8
tanθ
)
.…(12分)
点评:本题主要考查椭圆标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.
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