Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=24，S₁₁=0．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前50项和T₅₀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₃和S₁₁的值，分别利用等差数列的通项公式及前n项和公式化简，得到关于a₁和公差d的方程组，求出方程组的解得到a₁和d的值，由a₁和d的值写出数列的通项公式即可；
（Ⅱ）先利用等差数列的前n项和公式，由a₁和d写出S_n的通项，然后由a_n大于等于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集得到n的取值范围，进而得到数列{a_n}各项的正负情况是前6项都大于0，从第7项开始各项都小于0，又b_n=|a_n|，罗列出数列{b_n}的前50项和T₅₀的各项，根据负数的绝对值等于它的相反数化简，给前6项乘以2，加上数列{a_n}前50项的和即为数列{b_n}的前50项和T₅₀．

解答：解：（Ⅰ）由a₃=24，S₁₁=0，根据题意得：

a1+2d=24 11a1+ 11×10 2 d=0

，
解得：

a1=40 d=-8

，
∴a_n=40-8（n-1）=48-8n；
（Ⅱ）Sn=na1+

n(n-1)

2

d=40n-4n(n-1)，
又当n≤6时，a_n≥0，n＞6时a_n＜0，
∴T₅₀=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆-a₇-a₈-a₉-a₁₀-…-a₅₀
=-a₁-a₂-a₃-a₄-…-a₅₀+2（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）
=-（40×50-4×50×49）+2（40×6-4×6×5）
=8040．

点评：此题第2问的解题思路是：先利用不等式判断得到数列{a_n}各项的正负情况，然后利用负数的绝对值等于它的相反数化简数列{b_n}的前50项的和T₅₀，最后采用数列{a_n}的前50项和加前6项和的2倍求出T₅₀．同时要求学生数列掌握等差数列的通项公式及前n项和公式．