Question

若对于n个向量

a1

，

a2

，…，

an

，若存在n个不全为零的实数k₁，k₂，…，k_n，使得k1

a1

+k2

a2

+…+kn

an

=

0

，则称

a1

，

a2

，…，

an

为“线性相关”，k₁，k₂，…，k_n分别为

a1

，

a2

，…，

an

的“相关系数”．依此规定，若

a1

=(1，0)，

a2

=(1，-1)，

a3

=(2，2)线性相关，

a1

，

a2

，

a3

的相关系数分别为k₁，k₂，k₃，则k₁：k₂：k₃=

-4：2：1

．

Answer 1

分析：根据所给的新定义，看出要求的三个向量线性相关，得到关于向量的坐标和相关系数之间的关系式，根据这个关系式等于零向量，写出两个方程，把其中一个相关系数表示另外两个相关系数，求比值即可．

解答：解：∵

a1

=(1，0)，

a2

=(1，-1)，

a3

=(2，2)线性相关，
根据条件中所给的线性相关的定义得到k1

a1

+k2

a2

+k3

a3

=

0

，
∴k₁（1，0）+k₂（1，-1）+k₃（2，2）=（0，0），
∴k₁+k₂+2k₃=0，①
-k₂+2k₃=0    ②
由①②可得，k₂=2k₃，k₁=-4k₃
∴k₁：k₂：k₃=（-4k₃）：（2k₃）：k₃=-4：2：1
故答案为：-4：2：1

点评：本题考查平面向量与线性相关的综合题目，本题解题的关键是理解新定义，能够利用新定义，本题是一个中档题目．