Question

4．若函数f（x）=$\sqrt{5}$sin（2x+φ）对任意x都有f（$\frac{π}{3}$-x）=f（$\frac{π}{3}$+x）．
（1）求f（$\frac{π}{3}$）的值；
（2）求φ的最小正值；
（3）当φ取最小正值时，若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，故有f（$\frac{π}{3}$）=±$\sqrt{5}$．
（2）根据f（0）=f（$\frac{2π}{3}$），可得$\sqrt{5}$sinφ=$\sqrt{5}$sin（$\frac{4π}{3}$+φ），即 φ=2kπ+$\frac{4π}{3}$+φ，或φ=2kπ+π+$\frac{4π}{3}$+φ，k∈Z，由此求得φ的最小正值．
（3）当φ取最小正值时，f（x）=$\sqrt{5}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），再根据 x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得正弦函数的最值，可得f（x）的最值．

解答 解：（1）由于函数f（x）=$\sqrt{5}$sin（2x+φ）对任意x都有f（$\frac{π}{3}$-x）=f（$\frac{π}{3}$+x），
故f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，故有f（$\frac{π}{3}$）=±$\sqrt{5}$．
（2）由f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，可得f（0）=f（$\frac{2π}{3}$），即 $\sqrt{5}$sinφ=$\sqrt{5}$sin（$\frac{4π}{3}$+φ），
即 φ=2kπ+$\frac{4π}{3}$+φ，或φ=2kπ+π+$\frac{4π}{3}$+φ，k∈Z，
由此求得φ的最小正值为$\frac{π}{3}$．
（3）当φ取最小正值时，f（x）=$\sqrt{5}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
f（x）=$\sqrt{5}$sin（2x+φ）∈[0，$\sqrt{5}$]，
当2x+$\frac{π}{3}$=0时，f（x）取得最小值为0，当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$ 时，f（x）取得最大值为$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的最值，属于中档题．