Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

cos2x，x∈R，
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2bcosA=2c-

3

a，求f（B）的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）运用二倍角的正弦公式和两角差的正弦公式，化简f（x），再由周期公式和正弦函数的单调区间，即可得到；
（2）运用正弦定理和两角和的正弦公式，化简即可得到B，再由（1），即可得到f（B）的值．

解答： 解：（1）函数f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
则函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

＜2x-

π

6

＜2kπ+

π

2

，得到kπ-

π

6

＜x＜kπ+

π

3

，k为整数，
由2kπ+

π

2

＜2x-

π

6

＜2kπ+

3π

2

，得到kπ+

π

3

＜x＜kπ+

5π

6

，k为整数．
则单调增区间为（kπ-

π

6

，kπ+

π

3

），k为整数，
单调减区间为（kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

），k为整数．
（2）由于2bcosA=2c-

3

a，
则由正弦定理得，2sinBcosA=2sinC-

3

sinA
=2sin（A+B）-

3

sinA=2sinAcosB+2cosAsinB-

3

sinA，
则有2cosB=

3

，B为三角形的内角，则B=

π

3

，
故f（B）=sin（

2π

3

-

π

6

）=sin

π

2

=1．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查三角函数的周期性和单调性，考查解三角形的正弦定理，考查运算能力，属于中档题．