Question

16、用数学归纳法证明4+3ⁿ⁺²能被13整除，其中n∈N^*

Answer 1

分析：用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n=k时结论成立，利用此假设结合因式的配凑法，证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答：证明：（1）当n=1时，4^2×1+1+3¹⁺²=91能被13整除
（2）假设当n=k时，4^2k+1+3^k+2能被13整除，则当n=k+1时，
4^2（k+1）+1+3^k+3=4^2k+1•4²+3^k+2•3-4^2k+1•3+4^2k+1•3
=4^2k+1•13+3•（4^2k+1+3^k+2?）
∵4^2k+1•13能被13整除，4^2k+1+3^k+2能被13整除
∴当n=k+1时也成立
由①②知，当n∈N^*时，4²ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²能被13整除

点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：
设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基）
2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立