Question

7．已知函数f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+c}$，f′（0）=9，其中a＞0，b，c∈R，且b+c=10．
（1）求b，c的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若0＜a≤1，求证：当x＞1时，（x³+1）f（x）＞9+lnx．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由条件列方程，可得b=9，c=1，由a＞0，令导数大于0，可得增区间；令导数小于0，可得减区间；
（2）当x＞1时，（x³+1）f（x）＞9+lnx．即为f（x）＞$\frac{9+lnx}{1+{x}^{3}}$在x＞1成立，分别求得f（x）的最值和g（x）=$\frac{9+lnx}{1+{x}^{3}}$的最值，即可得证．

解答 （1）解：f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+c}$，
f'（x）=$\frac{-ab{x}^{2}+9}{（a{x}^{2}+1）^{2}}$，f′（0）=9，且b+c=10，
∴c=1，b=9，f'（x）=$\frac{-9a{x}^{2}+9}{（a{x}^{2}+1）^{2}}$，a＞0，
当x∈（-$\frac{\sqrt{a}}{a}$，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（-∞，-$\frac{\sqrt{a}}{a}$）和（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
（2）证明：当x＞1时，（x³+1）f（x）＞9+lnx．即为f（x）＞$\frac{9+lnx}{1+{x}^{3}}$在x＞1成立，
由g（x）=$\frac{9+lnx}{1+{x}^{3}}$的导数为g'（x）=$\frac{\frac{1}{x}-26{x}^{2}-3{x}^{2}lnx}{（1+{x}^{3}）^{2}}$＜0，
即有g（x）在x＞1递减，则g（x）＜g（1）=$\frac{9}{2}$；
由（1）可得f（x）在（1，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）时，f（x）递增；
（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）时，f（x）递减．
x=1时f（1）=$\frac{9}{1+a}$≥$\frac{9}{2}$，
可得x=$\frac{1}{\sqrt{a}}$处取得最大值，即为$\frac{9}{2\sqrt{a}}$＞$\frac{9}{2}$，
又（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）时，f（x）＞g（x）．
则有当x＞1时，（x³+1）f（x）＞9+lnx．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的恒成立问题的解法，注意运用函数的导数求得单调性，考查运算能力，属于中档题．