Question

选修4-5；不等式选讲
已知不等式|x+1|+|x-2|≥m的解集是R．
（I）求实数m的取值范围：
（II）在（1）的条件下，当实数m取得最大值时，试判断是否成立？并证明你的结论．

Answer 1

解：（I）由绝对值不等式性质知：
|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3对x∈R恒成立
故不等式|x+1|+|x-2|≥m的解集是R，只须m≤3即可
∴m的取值范围是（-∞，3]…（4分）
（II）由（I）知实数m的最大值为3
当m=3时，不等式即
这是一个正确的不等式，证明如下：
∵2＞2
∴6+2+7≥3+2+10，即（）²＞（）²
两边开方得，故原不等式成立． …（10分）
分析：（I）由绝对值不等式的性质：|a±b|≤|a|+|b|，可得已知不等式左边的最小值为3，由此结合题意可得m的取值范围是（-∞，3]．
（II）在（I）条件下，即证明成立，注意到不等式两边都是正数，所以证明不等式左边的平方大于右边的平方，再开方即可得到不等式成立．
点评：本题以含有绝对值的不等式恒成立为载体，求参数的最大值，并在此情况下证明含有根式的不等式正确，着重考查了绝对值不等式的性质和不等式证明的常用方法等知识，属于基础题．