Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=（2，-2），
（1）设

c

=4

a

+

b

，求（

b

•

c

）

a

．
（2）若

a

+λ

b

与

a

垂直，求λ的值．
（3）求向量

a

在

b

方向上的投影．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐标运算法则求出

c

的坐标；利用向量的数量积公式求出(

b

•

c

)

a

．
（2）利用向量垂直的充要条件：数量积为0，列出方程求出λ．
（3）利用向量数量积的几何意义得到一个向量在另一个向量方向上的投影公式为两个向量的数量积比上第二个向量的模．

解答：解：（1）∵

a

=（1，2），

b

=（2，-2），
∴

c

=4

a

+

b

=（4，8）+（2，-2）=（6，6）．
∴

b

•

c

=2×6-2×6=0，
∴（

b

•

c

）

a

=0

a

=0．
（2）

a

+λ

b

=（1，2）+λ（2，-2）=（2λ+1，2-2λ），
由于

a

+λ

b

与

a

垂直，
∴2λ+1+2（2-2λ）=0，
∴λ=

5

2

．
（3）设向量

a

与

b

的夹角为θ，
向量

a

在

b

方向上的投影为|a|cosθ．
∴|

a

|cosθ=

a•b

|b|

=

1×2+2×(-2)

22+(-2)2

=-

2

2 2

=-

2

2

．

点评：本题考查向量的坐标运算法则、考查向量的数量积公式、考查两个向量垂直的充要条件、考查利用向量的数量积公式求一个向量在另一个向量方向上的投影．