Question

某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=，其中A的各位数中，a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出现0的概率为

1

3

，出现1的概率为

2

3

．记X=a₂+a₃+a₄+a₅，当程序运行一次时，X的数学期望Eξ=（　　）

• A、

  8

  27

• B、

  16

  81

• C、

  8

  3

• D、

  65

  81

Answer 1

分析：由题意知X的可能取值是0，1，2，3，4，结合变量对应的事件和独立重复试验公式做出概率，（以X=3为例，当X=3时，表示四个数字中恰好出现了3个1）算出期望．

解答：解：由题意知X的可能取值是0，1，2，3，4，
当X=0时，表示这四个数字都是0，P（X=0）=(

1

3

)4=

1

81

，
当X=1时，表示四个数字中有一个1，P（X=1）=

C

1 4

×(

1

3

)3×

2

3

=

8

81

P（X=2）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

P（X=3）=

C

3 4

(

2

3

)3×

1

3

=

32

81

P（X=4）=C₄⁴(

2

3

)4=

16

81

∴EX=1×

8

81

+2×

24

81

+3×

32

81

+4×

16

81

=

216

81

=

8

3

，
故选C．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二进位制，考查独立重复试验的概率公式，是一个综合题，解题的关键是读懂题意．