Question

13．已知O是坐标原点，F是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos∠MON的值为（　　）

• A． $\frac{5}{13}$
• B． -$\frac{5}{13}$
• C． $\frac{2\sqrt{13}}{13}$
• D． -$\frac{2\sqrt{13}}{13}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出椭圆的通径，进一步求出tan∠MOF=$\frac{3}{2}$，再利用万能公式得答案．

解答 解：不妨设F为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点，
由a²=4，b²=3，得c²=a²-b²=1，
∴F（1，0），则M（$c，\frac{{b}^{2}}{a}$）=（1，$\frac{3}{2}$），N（$c，-\frac{{b}^{2}}{a}$）=（1，-$\frac{3}{2}$），
∴tan∠MOF=$\frac{3}{2}$，
∴cos∠MON=$\frac{1-ta{n}^{2}∠MOF}{1+ta{n}^{2}∠MOF}$=$\frac{1-（\frac{3}{2}）^{2}}{1+（\frac{3}{2}）^{2}}=-\frac{5}{13}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆通径的求法，训练了三角函数中万能公式的应用，是中档题．