Question

(Ⅰ)设a₁，a₂，…a_n是各项均不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差d≠0。若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
(ⅰ)当n=4时，求的数值；
(ⅱ)求n的所有可能值．
(Ⅱ)求证：对于给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

Answer 1

解：首先证明一个“基本事实”：
一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d₀=0．
事实上，设这个数列中的连续三项a-d₀，a，a+d₀成等比数列，则a²=(a-d₀)(a+d₀)，由此得d₀=0．
(Ⅰ)(ⅰ)当n=4时，由于数列的公差d≠0，故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a₂或a₃，
①若删去a₂，则由a₁，a₃，a₄成等比数列，得(a₁+2d)²=a₁(a₁+3d)，
因d≠0，故由上式得a₁= -4d，即=-4，
此时数列为-4d，-3d，-2d，-d，满足题设．
②若删去a₃，则由a₁，a₂，a₄成等比数列，得(a₁+d)²=a₁（a₁+3d），
因d≠0，故由上式得a₁=d，即=1，
此时数列为d，2d，3d，4d，满足题设；
综上可知，的值为-4或1。
(ⅱ)若n≥6，则从满足题设的数列a₁，a₂，…a_n中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，
故由“基本事实”知，数列a₁，a₂，…a_n的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n≤5．
又因题设n≥4，故n=4或5，
当n=4时，由(ⅰ)中的讨论知存在满足题设的数列；
当n=5时，若存在满足题设的数列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，
则由“基本事实”知，删去的项只能是a₃，从而a₁，a₂，a₄，a₅成等比数列，
故(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)，及(a₁+3d)2=(a₁+d)(a₁+4d)，
分别化简上述两个等式，得a₁d=d²及a₁d=-5d²，故d=0，矛盾．
因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列；
综上可知，n只能为4．
(Ⅱ)假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列，
其中三项成等比数列，这里，
则有，
化简，得，（*）
由知，与或同时为零或均不为零，
若=0且=0，则有，
即，得，从而，矛盾；
因此，与都不为零，
故由（*）式，得，
因为m₁，m₂，m₃均为非负整数，
所以上式右边为有理数，从而是一个有理数，
于是，对于任意的正整数n≥4，只要取为无理数，则相应的数列b₁，b₂，…，b_n就是满足要求的数列，例如，取b₁=1，，那么n项数列满足要求．