Question

4．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．且AB独立，由独立事件的概率公式可得；
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．由互斥事件的概率公式可得答案．
（Ⅲ）ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ可能的取值为0，1，2，3．结合前两问的解法得到结果，写出分布列和期望．

解答 解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．
∵事件A，B相互独立，且$P（A）=\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}=\frac{1}{2}$，$P（B）=\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}=\frac{3}{10}$．
∴取出的4个球均为黑球的概率为P（A•B）=P（A）•P（B）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{10}$=$\frac{3}{20}$．
（II）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，
“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．
∵事件C，D互斥，且$P（C）=\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}=\frac{3}{10}$．$P（D）=\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}=\frac{3}{20}$，
∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）=$\frac{3}{10}+\frac{3}{20}$=$\frac{9}{20}$．
（III）ξ可能的取值为0，1，2，3．
由（I），（II）得P（ξ=0）=$\frac{3}{20}$，P（ξ=1）=$\frac{9}{20}$，
又P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}+\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}=\frac{7}{20}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{20}$．
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{3}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{7}{20}$	$\frac{1}{20}$

ξ的数学期望Eξ=0×$\frac{3}{20}$+1×$\frac{9}{20}$+2×$\frac{7}{20}$+3×$\frac{1}{20}$=$\frac{13}{10}$．

点评 本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．