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4.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球,现从甲、乙两盒内各任取2个球.
(Ⅰ)求取出的4个球均为黑球的概率;
(Ⅱ)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
(Ⅲ)设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列和数学期望.

分析 (Ⅰ)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A,“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.且AB独立,由独立事件的概率公式可得;
(Ⅱ)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件C,“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由互斥事件的概率公式可得答案.
(Ⅲ)ξ为取出的4个球中红球的个数,则ξ可能的取值为0,1,2,3.结合前两问的解法得到结果,写出分布列和期望.

解答 解:(I)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A,“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.
∵事件A,B相互独立,且$P(A)=\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}=\frac{1}{2}$,$P(B)=\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}=\frac{3}{10}$.
∴取出的4个球均为黑球的概率为P(A•B)=P(A)•P(B)=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{10}$=$\frac{3}{20}$.
(II)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件C,
“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.
∵事件C,D互斥,且$P(C)=\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}=\frac{3}{10}$.$P(D)=\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}=\frac{3}{20}$,
∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C+D)=P(C)+P(D)=$\frac{3}{10}+\frac{3}{20}$=$\frac{9}{20}$.
(III)ξ可能的取值为0,1,2,3.
由(I),(II)得P(ξ=0)=$\frac{3}{20}$,P(ξ=1)=$\frac{9}{20}$,
又P(ξ=2)=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}+\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}=\frac{7}{20}$,
P(ξ=3)=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{20}$.
ξ的分布列为:

ξ0123
P $\frac{3}{20}$ $\frac{9}{20}$ $\frac{7}{20}$ $\frac{1}{20}$
ξ的数学期望Eξ=0×$\frac{3}{20}$+1×$\frac{9}{20}$+2×$\frac{7}{20}$+3×$\frac{1}{20}$=$\frac{13}{10}$.

点评 本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.

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