Question

14．如图，有两条相交成60°角的直路XX′，YY′，交点是O，甲和乙同时从点O出发，甲沿着OX的方向，乙沿着OY的方向，经过若干小时后，甲到达点A，乙到达点B，此时甲测得他走过的路程比他到乙的距离多2km，且乙走过的路程超过4km，设甲到达点A，乙到达点B时，乙走过的路程为x km，甲走过的路程为y km．
（1）求甲走过的路程y km与乙走过的路程x km的函数关系式；
（2）设甲到达点A，乙到达点B时，两人走过的路程之和为S km，求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）在△OAB中由余弦定理得（y-2）²=y²+x²-2xycos60°（x＞4）整理即可得函数关系式．
（2）由题意S=x+y=$\frac{2{x}^{2}-4x-4}{x-4}$，设t=x-4，则x=t+4，其中t＞0，利用基本不等式的应用即可求解．

解答 解：（1）在△OAB中，由余弦定理得（y-2）²=y²+x²-2xycos60° （x＞4），…（3分）
整理得，y=$\frac{{x}^{2}-4}{x-4}$（x＞4）．…（6分）
（2）由题意S=x+y=x+$\frac{{x}^{2}-4}{x-4}$=$\frac{2{x}^{2}-4x-4}{x-4}$，…（8分）
设t=x-4，则x=t+4，其中t＞0，…（10分）
S=$\frac{2（t+4）^{2}-4（t+4）-4}{t}$
=2（t+$\frac{6}{t}$）+12                                      …（13分）
≥4$\sqrt{6}$+12．当且仅当t=$\sqrt{6}$时取等号，此时x=4+$\sqrt{6}$，…（15分）
S的最小值是4$\sqrt{6}$+12．                                      …（16分）

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．