Question

10．求下列极限：
（1）$\underset{lim}{n→∞}$（1$-\frac{1}{{2}^{2}}$）（1$-\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1$-\frac{1}{{n}^{2}}$）；
（2）$\underset{lim}{n→∞}$n²（$\frac{k}{n}$$-\frac{1}{n+1}$$-\frac{1}{n+2}$-…$-\frac{1}{n+k}$）．

Answer 1

分析 （1）（1$-\frac{1}{{2}^{2}}$）（1$-\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1$-\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{2^2-1}{2^2}$•$\frac{3^2-1}{3^2}$•$\frac{4^2-1}{4^2}$…$\frac{n^2-1}{n^2}$=$\frac{n+1}{2n}$，再求极限；
（2）n²（$\frac{k}{n}$$-\frac{1}{n+1}$$-\frac{1}{n+2}$-…$-\frac{1}{n+k}$）=n²•（$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{2}{n（n+2）}$+$\frac{3}{n（n+3）}$+…+$\frac{k}{n（n+k）}$），再求极限．

解答 解：（1）（1$-\frac{1}{{2}^{2}}$）（1$-\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1$-\frac{1}{{n}^{2}}$）
=$\frac{2^2-1}{2^2}$•$\frac{3^2-1}{3^2}$•$\frac{4^2-1}{4^2}$…$\frac{n^2-1}{n^2}$
=$\frac{（1×3）•（2×4）•（3×5）…[（n-1）×（n+1）]}{2^2•3^2•4^2…n^2}$
=$\frac{1×2×n×（n+1）}{4n^2}$=$\frac{n+1}{2n}$，
所以，原式=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n+1}{2n}$=$\frac{1}{2}$；
（2）$\frac{k}{n}$$-\frac{1}{n+1}$$-\frac{1}{n+2}$-…$-\frac{1}{n+k}$
=（$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+2}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+3}$）+…+（$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+k}$）
=$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{2}{n（n+2）}$+$\frac{3}{n（n+3）}$+…+$\frac{k}{n（n+k）}$
所以，原式=$\underset{lim}{n→∞}$n²•（$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{2}{n（n+2）}$+$\frac{3}{n（n+3）}$+…+$\frac{k}{n（n+k）}$）
=1+2+3+…+k=$\frac{k（k+1）}{2}$．

点评 本题主要考查了数列极限的求法，采取了先对式子化简再求其极限的策略，属于中档题．